力のモーメントはこれで完璧!?公式やコツを分かりやすく解説!

力のモーメントはこれで完璧!?公式やコツを分かりやすく解説!

「力のモーメントって何?」「剛体のつり合いを解く時のコツって?」「モーメントでよくある勘違いは何?」

このような受験生の疑問を解決すべく、例題を通してわかりやすく解説します。

さらに、頻出の「転倒する直前の条件」系の応用問題も図解で丁寧に解説しています。

モーメントのエッセンスがつまった記事です!

力のモーメントとは?

物体に力を加えた時、回転したり、変形したりすることがあると思う。

回転はするが、変形はしない物体剛体という。この単元では、剛体について取り扱う。

剛体を回転させる能力を表すのが、力のモーメントである。

力のモーメントが大きければ、回転させる能力が大きいことを意味する。

以下の図のように、点Oを軸に大きさ \(F\) の力で剛体を回転させる時の力のモーメント \(M\) は、次の式で定義される。

\[M=FL\]

※物体を回転させる際に、力を変えずに(=\(F\)が一定)、回転軸からの距離を大きく(=\(L\)を大きく)すれば、回転させやすくなる(=\(M\)が大きくなる)。

\(L\)は、厳密に言うと、\(F\)の作用線までの距離である。

それについて、以下で説明する。

力の方向と”うで”は必ず垂直

たとえば、以下の図の場合。

点Oを軸に回転させる時、うでの長さ\(L\)は、\(F\)の作用線(点線)までの距離より、以下の赤線部分になる。(灰色部分ではない)

繰り返すと、うでの長さ\(L\)は、\(F\)の作用線までの距離である。

少し言い換えると、\(F\)と\(L\)は垂直になる。。

モーメントの”プラス”と”マイナス”

剛体を回転させる方向(基準の点から見て)が反時計回りのときは、モーメントは”プラス”とする。
逆に、回転させる方向(基準の点から見て)が時計回りのときは、モーメントは”マイナス”とする。

基本例題

例題:以下の図のように、質量 \(m\) の棒を床から糸で吊るしあげた。点Oを回転の基準とした時の重力のモーメント\(M_{O}\)と、点Pを基準とした時の重力のモーメント\(M_{P}\)を求めよ。

解説:
力のモーメントの定義は、\(M=FL\)で、\(L\) は力の作用線までの距離であることに注意。

点Oの場合は、重力の作用線までの距離 \(L=l\) である。
また、点Oから見ると、反時計回りに回転させようとしているので、モーメントは”プラス”

よって

\(M_{O}=F・L=mg・l\)
\( M_{O}=mgl\)・・答え

点Pの場合は、重力の作用線までの距離は、以下の赤矢印部分である。

よって、 作用線までの距離は\(L=xcosθ\) である。
また、点Pから見ると、時計回りに回転させようとしているので、モーメントは”マイナス”

よって、

\(M_{P}=-F・L=-mg・xcosθ\)
\(M_{P}=-mgxcosθ\)・・答え

剛体のつり合い

剛体のつり合いと、物理基礎の「力のつり合い」は少し違うところに注意が必要だ

物理基礎では、「1つの物体に、大きさが同じで向きが逆の力が加わった時、物体は静止する(以下の図)」と学んだと思う。[※後述するが、厳密には正しくない]

しかし、この条件を満たしていても、以下の場合は、剛体は静止せずに回転してしまう。

剛体が静止するには、以下の図のように、作用線が一致していることが前提である。
(物理基礎では、これが暗黙のうちに当たり前になっていた。)

 

では、働く力が2つではなく、3つ、4つと増えていった場合、剛体が静止するための条件はどうなるのか?すべての力の作用線が一致している必要があるのか?

次で詳しく見ていく。

剛体がつり合い条件とは?

働く力が3つ、4つに増えていった時、すべての作用線が一致していなくても、剛体が静止する場合はある。

以下の2条件が同時に成り立つ時、剛体が静止する。

① 剛体に働く力がつり合っている。
② 剛体に働くモーメントがつり合っている。
※モーメントの基準は、自分で自由に決めてよい。

数式として少し具体的に表す。
(わからない場合は、あまり気にせず次の例題を通して理解しよう!)

物体に働く力を\(\overrightarrow{F_{1}}、\overrightarrow{F_{2}}、\overrightarrow{F_{3}}\)とし、ある点を基準とした時のそれぞれのモーメント(正負も含)を、\(M_{1}、M_{2}、M_{3}\)とすると、

①  \(\overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}}= \overrightarrow {0}\)
②  \(M_{1} + M_{2} + M_{3}=0 \)

基本例題

例題:以下のように、長さ \(l\) の棒の両端に、質量 \(m\) のAと、\(2m\) のBの2つの質点を取り付けた。棒を糸でつるして、水平方向に保つには、図中の \(x\) をいくつにすればいいか。ただし、棒の質量は無視する。

解答:
まず、剛体に働く力を図示する。

①の力のつり合いは、以下のようになる。
\(T=mg+2mg=3mg\)

やったはいいが、実はこの場合、①はやる必要がない(後で分かる)。
剛体のつり合いの時は、②のモーメントのつり合いだけで解ける問題もある。

★以下では、①をやっていない前提で、②のモーメントのつり合いを考える。

まず、どこをモーメントの基準にするかを決める必要がある。
今回の場合だと、A、O、Bが候補である。

その中で、Oを基準にすると、張力 \(T\)のモーメントが0になり、無視することができる。
(力のモーメント \(M=FL\)より、\(L\)が0となるので \(M=0\))

このように、分かっていない力のモーメントが0になるように基準を決めると、楽である。

Aの\(mg\)のモーメントは、Oを基準にすると、反時計回りなので、\(mgx\)。
Bの\(2mg\)は、時計回りなので、\(-2mg(l-x)\)となる。

よって、②のモーメントのつり合いは、
\(mgx-2mg(l-x)=0\)

よって、\(x=\frac{2}{3}l\)・・答え

このように、①力のつり合いを考えなくても、②だけで答えが求まった。

ただし、①力のつり合いが必要な場合もあるので、そこは忘れずに。

物体が回転し始める条件(応用問題)

入試問題では、「物体が回転し始める条件を求めよ。」「倒れないための条件を求めよ。」のような問題が、応用として出題される。

このような文言を見たら、大体が力のモーメント関連の問題であると思いながら、解き進めよう。

例題:質量 \(m\) の均一な棒(長さ \(l\) )を、あらい床となめらかな壁に立てかけた。棒と床の角度を \(θ\) とする。\(θ\) を小さくすると棒が滑り出した。滑り出す直前の角度が、\(θ=α\) であった時、床と物体の間の静止摩擦係数 \(μ\) を求めよ。

解説:
まず、働く力を図示する。

そして、滑り出す直前ということは、静止摩擦 \(F\) が最大静止摩擦になるため、\(F=μN\)となる。
(詳しくは、これで摩擦力は大丈夫!摩擦力の公式と解き方を徹底解説!を参照してみよう!)

よってこの状態で、①力のつり合い②モーメントのつり合い を考える。

力のつり合い(上下方向)より、\(mg=N\)
力のつり合い(左右方向)より、\(N’=μN=μmg\)

② 点Aの周りのモーメント(以下の図参照)のつり合いより、
(※点Aなら、垂直抗力\(N\)と静止摩擦力\(μN\)のモーメントが無視できる)

\[mg・\frac{l}{2}cosα-μmg・lsinα=0\]

計算すると、
\[\frac{l}{2}cosα-μlsinα=0\\[3mm] \frac{1}{2}cosα-μsinα=0\]
よって、\(μ=\frac{cosα}{2sinα}\)・・答え

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