メテラウスの定理は、高校数学でとても重要な定理です。
今回の記事では、メネラウスの定理に対する苦手意識を克服し、入試問題に対応するための方法を紹介していきます。
メテラウスの定理を分かりやすく解説していくよ！
覚え方も一緒に解説しているから、頑張って覚えよう！！
メネラウスの定理とは？
メネラウスの定理は、数学Aに登場する（幾何学分野の）定理です。
チェバの定理と並び、幾何学において必須の定理となっており、入試でも頻出の内容です。
さっそく、公式を見ていきましょう！
メネラウスの定理の公式
三角形ABCについて、線分AB上の点をD、AC上の点をE、直線DEと直線BCの延長線上の交点をFとすると、以下のような公式が成り立つ。
【メテラウスの定理】
$$\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{CE}{EA}=1$$
これがメネラウスの定理になります。
また、ここでは分かりやすい形で説明しましたが、実際はもっと複雑な図形の中から、メテラウスの定理を使うことができるところを見極める必要が出てきます。
問題としての登場の仕方も多様なので、どんな形で出ても解けるようにしておく必要があります。
メネラウスの定理の覚え方
メネラウスの定理は、図形を見ながら流れを指で追っていくように理解するのがオススメです。
まず、先ほどの公式を見て、実際に図形上でどのような経路をたどっているのか確認してみましょう。
はじめにAからD(AD)、DからBと進み(DB)、そこでCを飛ばしてFまでいきます(BF)。
そのあと、FからCに戻り(FC)、あとはそのままCからE(CE)、EからAと進んで(EA)完成です。
公式の作り方はとてもシンプルですが、Cを飛ばすところが少し覚えにくいかもしれません。
はじめのうちは、公式を確認しながら「隣の点、隣の点、一つ飛ばす、一つ戻る、隣の点、隣の点」とゆっくり解いていきましょう！
流れをつかんだら、公式を見ずに素早く解けるようになりますよ。
メテラウスの定理の証明
メネラウスの定理の証明がそのまま入試に出ることはほとんどありません。
しかし、証明を理解することで、定理をより深く理解することができます。
覚える必要はありませんが、興味がある人は軽く目を通してみてください。
【メテラウスの定理の証明】
直線DEを延長し、A, B, Cから直線DEに下ろした垂線とDEの交点をそれぞれG, H, Iとします。
\(AD:DB=AG:BH\)となるので
$$\frac{AD}{DB}=\frac{AG}{BH}$$
\(BF:FC=BH:CI\)となるので
$$\frac{BF}{FC}=\frac{BH}{CI}$$
\(CE:EA=CI:AG\)となるので
$$\frac{CE}{EA}=\frac{CI}{AG}$$
以上より、
$$\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{CE}{EA}=\frac{AG}{BH}\cdot\frac{BH}{CI}\cdot\frac{CI}{AG}=1$$
として証明完了です。
例題
メネラウスの定理を使う問題では、辺の長さや辺の比を求める問題が数多く出されますので、例題で慣れておきましょう。
【例題】
\(AD:DB=3:2\)、\(CE:EA=1:4\) のとき、\(BC:FC\) を求めよ。
【解答】
メネラウスの定理より、
$$\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{CE}{EA}=\frac{3}{2}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{1}{4}=1$$
よって、
$$\frac{BF}{FC}=\frac{8}{3}$$
\(BF:FC=8:3\) となるため、
$$BC:FC=5:3$$
メネラウスの定理で知っておくべきこと
メネラウスの定理は、使える場面が幅広いため、様々な図形で使いこなせるようになっておく必要があります。
ここでは、メネラウスの定理を使うために知っておくべきことについて説明します。
補助線を引いてみる
入試問題では、公式がそのまま使える形で出題されるとは限りません。
複雑な図形の場合もありますし、逆に単純な三角形だけで出題されることもあります。
このような場合、補助線を引くことでメネラウスの定理の形が作れることもあります。
メネラウスの定理を使うことで、短時間で簡単に解ける場合もありますので、使えるかどうか常に考えておくことが大切です。
作図は深く考えなくてOK
あらかじめ問題冊子に図形が何も描かれておらず、文章だけで出題されることもあります。
このような時は、自分で作図をして、その図を元に考えることになるわけですが、線の引き方によって図形の向きが逆になったり、点の位置が変わったりすることに戸惑う場面があるかもしれません。
しかし、メネラウスの定理は図形の形や点の位置が微妙に変わっても、そのまま応用できる柔軟な公式です。
自分の図の書き方が解説と違っても、心配の必要はないのでご安心を。
まとめ
メネラウスの定理は、数学を勉強する受験生の関門の一つと言えます。
公式を見て、そのややこしそうな見た目にうんざりしてしまう人も少なくありません。
しかし、この定理を知っているのと知らないのとでは、問題を解く効率が全く違ってきます。
例題をこなして、頑張ってマスターしましょう！
