水平投射・斜方投射とは?縦と横に分解することで理解できる【例題あり】

水平投射・斜方投射とは?縦と横に分解することで理解できる【例題あり】


水平投射とは

読んで字のごとく、ボールなどを水平に投げる運動のことである。
たとえば、以下の図のような軌道を描く。

今までは、横方向や縦方向のみの運動を考えていたが、今回は上図のように「斜め運動」を考える。

「斜め」のまま考えることは、非常に難しい。そこで、今まで習った「縦」と「横」に分解して考える。

物理では、”斜めの運動”は縦と横に分解する。

水平投射に限らず、物理では、「”斜めの運動”は縦と横に分解する」が定石である。
たとえば、今回の水平投射なら、以下のようになる。

斜めに進む運動を、
赤の横方向(正式には水平方向)青の縦方向(正式には鉛直方向)に分解して考える。

そして、結論から先に言うと、

水平投射の水平方向は、速度が常に一定の運動。
水平投射の鉛直方向は、自由落下運動。

この2つを覚えてしまえばそれで終わりだが、以下では、それぞれの理由(本質的な背景)を見る。

この本質的な背景を学べば、この記事の最後にあるような応用問題などにも難なく対応できる。

なぜ、水平投射の水平方向は「等速度運動」なのか

物体の運動を考える際には、(古典力学の範囲では)運動方程式から出発する。
これは、物理の基本中の基本である。

ここでは、水平方向のみを考えているので、
水平方向に限定した運動方程式を考える。

ボールの質量を \(m\) 、水平方向の加速度を \(a_{x}\) 、水平方向に働く力を \(F_{x}\)とすると、水平方向の運動方程式は以下のようになる。
\[F_{x}=ma_{x}\]

物体に働く力は、以下のように重力だけである。

つまり、水平方向に働く力\(F_{x}\)は0である。よって、運動方程式へ代入すると、
\[0= ma_{x}\\[5mm]a_{x}=0\]
となる。つまり、水平方向は加速度0である。

よって、水平方向の速度は、投げ出した速度で一定である(=等速度運動)

たとえば、以下のように、水平方向に5 m/sで投射した時。水平方向の速度は常に5 m/sである。

なぜ、水平投射の鉛直方向は「自由落下」なのか

同じく、鉛直方向の運動についても、運動方程式から出発して考察する。

ボールの質量を \(m\) 、鉛直方向の加速度を \(a_{y}\) 、水平方向に働く力を \(F_{y}\)とすると、鉛直方向の運動方程式は以下のようになる。
\[F_{y}=ma_{y}\]

物体に働く力は、以下のように重力\(mg\)である。

つまり、鉛直方向に働く力は\(F_{y}=mg\)(鉛直下向きを正)である。よって、運動方程式より、
\[mg=ma_{y}\\[5mm]a_{y}=g\]
となる。つまり、鉛直方向の加速度は\(g\)で一定である。(※加速度が一定の場合は、等加速度運動になる)

また、ボールを投げだす時は、水平方向の速度しかない。よって、鉛直方向の初速度は0である。

以上をまとめると、鉛直方向は、初速度0で、加速度\(g\)の運動である。つまり、自由落下運動になる。

自由落下運動の公式:(鉛直方向の速度 \(v_{y}\)、鉛直方向変位 \(y\)。鉛直下向きを正。)
\[v_{y}=gt\\y=\frac{1}{2}gt^2\\v_{y}^2=2gy\]

水平投射の例題

例題: 高さ19.6 mの建物の屋上から、ボールを水平方向に14.7 m/sの速さで投げ出した。重力加速度の大きさを9.80 m/s2とする。
(1) ボールが地面に落下するのは何 s後か?
(2) ボールが地面に落下した時の落下点と建物の間の水平距離 \(x\) mを求めよ。
(3) ボールが地面に落下する直前の速さはいくつか?

(1)の解説(放物運動の解法3つのステップ)

放物運動など、「斜めの運動」の時の解法は、以下の3ステップである。

Step1
問題で聞かれているのが、「水平方向」の話か「鉛直方向」の話か判断する。
(※「斜め」の話の場合は、step3へ)
➡”落下”なので、「鉛直方向」の話と判断できる。
Step2
鉛直の話なら【自由落下の公式】、水平の話なら【等速度運動の式】を使う。
➡鉛直の話なので、自由落下の公式を使う。

いま、ビルの高さ[公式で言うと\(y\)]が分かっているので、自由落下の3つの式のうち、以下を使って計算する。
\[y=\frac{1}{2}gt^2\]

数字を代入して計算すると、
\[19.6=\frac{1}{2}9.8t^2\\[5mm]t^2=4\\[5mm]t=2.00\ s・・答え\]

Step3 (斜めの話のみ)
鉛直方向と水平方向バラバラに考えたのちに、最後に両方を”合成”する。(ex:三平方の定理、水平方向の式を鉛直方向へ代入など)
➡今回はなし

(2)の解説

 

Step1
➡”水平到達距離”なので、「水平方向」(横)の話と判断できる。
Step2
➡水平の話なので【等速度運動の式】を使う。

(1)より、地面に落下するまでに、2.00 sかかる。
水平方向は、等速度運動(=投げ出したときの速度14.7 m/sで一定)より、2.0 sでは
14.7 × 2.00=29.4 m進む。

よって、\(x=29.4\) m・・答え

(3)の解説

Step1
➡ここでは速さを求める必要があり、「斜め」の話である。(下図参照)

Step3
➡図を参考にしてもらうと分かるように、まず「水平方向の\(v_{x}\)」と「鉛直方向の \(v_{y}\)」を求めて、
\[v_{x}^2+v_{y}^2=v^2・・★\]により、\(v\)を求める。

まず、\(v_{x}=14.7\)はすぐに分かる(水平方向は等速度より)

次に、\(v_{y}\)を求める。鉛直方向は、自由落下である。地面に落下するまでには、2.00 sかかる((1)より)ので、自由落下公式のうち以下を使って求める。
\[v_{y}=gt\\[5mm]v_{y}=9.80×2.00\]
よって、\(v_{y}=19.6\)である。

★へ代入し、
\begin{eqnarray*}v^2&=&(14.7)^2+(19.6)^2\\v^2&=&(4.9\cdot3)^2+(4.9\cdot4)^2\\v^2&=&(4.9)^2\cdot(3^2+4^2)\\v^2&=&(4.9)^2\cdot25\\v&=&4.9\cdot5=24.5\end{eqnarray*}

よって、24.5 m/s ・・答え

斜方投射とは

斜方投射は、以下の図のように、ボールを斜めになげるような運動のことである。キャッチボール、やり投げのイメージである。

そして、同じく水平方向と鉛直方向に分解して考える。(下図)

斜方投射の場合は、結論から言うと

斜方投射の水平方向は、速度が常に一定の運動。
斜方投射の鉛直方向は、鉛直投げ上げ運動。

これを覚えてしまえば終わりだが、以下では、それぞれの詳細を見ていく。

斜方投射の水平方向の運動について

同じく、運動方程式から出発して考察する。

ボールの質量を \(m\) 、鉛直方向の加速度を \(a_{x}\) 、水平方向に働く力を \(F_{x}\)とする。斜方投射でも、働く力は、以下のように重力のみなので、\(F_{x}=0\)。


よって、水平方向の運動方程式は以下のようになる。
\[0=ma_{x}\\[5mm]a_{x}=0\]

よって、等速度運動になる。
つまり、水平方向の速度は、投げ出した時の初速の水平成分(下の図)で一定である。

斜方投射の鉛直方向の運動について

同じく、鉛直方向の運動についても、運動方程式から出発して考察する。

ボールの質量を \(m\) 、鉛直方向の加速度を \(a_{y}\) 、水平方向に働く力を \(F_{y}\)とする。鉛直方向の運動方程式は以下のようになる。
\[F_{y}=ma_{y}\]

鉛直上向きを正とすると、\(F_{y}=-mg\)。よって、運動方程式より、
\[-mg=m a_{y}\\[5mm]a_{y}=-g\]

よって、鉛直方向は、「初速度の鉛直成分」を初速度とした、鉛直投げ上げ運動になる。

鉛直投げ上げ公式:(鉛直方向の速度 \(v_{y}\)、鉛直方向変位 \(y\)。鉛直上向きを正。)
\[v_{y}=v_{0y}-gt\\y=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2\\v_{y}^2-v{0y}^2=2gy\]

斜方投射の例題

例題:水平方向から60°の方向に、初速度19.6 m/sで小球を投げた。ただし、重力加速度の大きさを9.80 m/sとする。\(\sqrt{3}=1.73\)とする。
(1) 最高点までにかかる時間は何 sか。
(2) 物体の水平到達距離 \(x\) mを求めよ。

解答:
(1)

Step1
問題で聞かれているのが、「水平方向」の話か「鉛直方向」の話か判断する。
➡”最高点”なので、「鉛直方向」(縦)の話と判断できる。
Step2
鉛直の話なら【投げ上げの公式】、水平の話なら【等速度運動の式】を使う。
➡鉛直の話なので、投げ上げの公式を使う。

最高点では、鉛直成分の速度は0になる。つまり、\(v_{y}=0\)

次に、初速度の鉛直成分\(v_{0y}\)を求める。下の図を参考にすると、以下の式で求まる。

\[sin60°=\frac{v_{0y}}{19.6}\\[5mm]v_{0y}=19.6sin60°\\[5mm] v_{0y}=9.8\sqrt{3}\]

 

よって、\(v_{y}=0,v_{0y}=9.8\sqrt{3}\)  を  \(v_{y}=v_{0y}-gt\) へ代入する。
\[0=9.8\sqrt{3}-9.8t\\t=\sqrt{3}\]
よって、\(t=1.73 s\)・・答え

(2)

Step1
➡”水平到達距離”なので、「水平方向」(横)の話と判断できる。
Step2
➡【等速度運動の式】を使う。

まず、初速度の水平方向\(v_{0x}\)を求める。下の図を参考にすると、以下の式で求まる。

\[cos60°=\frac{v_{0x}}{19.6}\\[5mm]v_{0x}=19.6cos60°\\[5mm]v_{0x}=9.80\]

また、最高点(以下の図の★)まで行くのに1.73 s かかるということは、落下する(以下の図の■)までには、1.73×2 = 3.46 s かかることになる。

よって、一定の速度 9.80 m/s で 3.46 s進むので、水平到達距離は以下のようになる。
\[9.80×3.46=33.908\]
33.9 m・・答え

放物運動の応用問題

例題:以下の図のように、角度θの斜面上から、ボールを斜め(斜面から角度α)に初速度\(v_{0}\)で投げた。斜面に落下するまでに要する時間 \(t\) を求めよ。

解説:

これも、鉛直と水平の2つに分解するところから出発する。

この場合、”斜面に落下”の話があるので、以下の赤矢印(斜面)を「水平」として分解すると話がしやすい。(※以下の図のように\(x\) 軸と\(y\) 軸を決めるのが一般的。)

そして、上で見たように、運動方程式を考える。(※運動の問題は、とにかく運動方程式から!)

まず、ボールに働く力を考える。ボールには、重力が働き、以下のように水平方向と鉛直方向に分解される。

図の \(x\) 軸と \(y\) 軸の向きを正とし、運動方程式を考えていく。落下するまでの事を考えるので、 \(y\)軸の方から考える。

\(y\) 軸方向の加速度を \(a_{y}\) とし、ボールの質量を \(m\) とすると、運動方程式は以下のようになる。

\[-mgcosθ=ma_{y}\]

つまり、\(a_{y}=-gcosθ(定数)\) になる。(等加速度運動になると分かる。)

また、\(y\) 軸方向の初速度 \(v_{0y}\) は、以下の図より、\(v_{0y}=v_{0}sinα\)。

よって、\(y\) 軸の運動は、初速度 \(v_{0y}=v_{0}sinα\) で 、加速度 \(a_{y}=-gsinθ\) の等加速度運動になる。

最終的には、等加速度運動の公式 (例:\(y=v_{0}t+\frac{1}{2}at^2 \)など)に、それぞれ代入していって使う。(以下参照)

この問題の場合、“落下”するまでの“時間”を聞かれているので、変位と時刻の情報が入った、\(y=v_{0}t+\frac{1}{2}at^2\)を使えばよいと分かる。

落下するということは、変位 \(y=0\) である。よって、
\(y=v_{0}t+\frac{1}{2}gt^2\)に、\(y=0、v_{0}=v_{0y}=v_{0}sinα、a=a_{y}=-gsinθ\) を代入。

\[0=(v_{0}sinα)t+\frac{1}{2}(-gsinθ)t^2\\[5mm]0=v_{0}sinα-\frac{1}{2}(gsinθ)t\\[5mm]t=\frac{2v_{0}sinα}{gsinθ}・・答え\]

 

 

 

 

 

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