自由落下の公式の解説と解き方【図・例題・応用問題あり】

自由落下の公式の解説と解き方【図・例題・応用問題あり】

自由落下

自由落下とは ~公式の紹介も~

自由落下とは、そおっと物体を鉛直方向に落下させる運動である。そして、落下中は重力がはたらくため、物体の速度は徐々に大きくなっていく。イメージ図は以下のようになっている。

公式の解説 ~公式の丸暗記は必要ない~

もう少し、詳しく考える。自由落下で成立する公式は、実は等加速度運動の3公式から導け、丸暗記は必要ない。
それについて、以下で説明する。
等加速度運動の公式は、以下の3つである。(初速度 \(v_{0}\)、運動開始から時間 \(t\) 後の速度を \(v\)、加速度 \(a\)、変位 \(x\))

\[v=v_{0}+at\]\[x=v_{0}t+\frac{1}{2}at^2\]\[v^2-v_{0}^2=2ax\]

この3つを理解していれば、以下のように自由落下の公式を導ける。

① 落下中は重力がはたらくため、物体の速度は変化していく。

② 速度が変化するという事は、加速度が働いている。このとき働く加速度は、重力加速度 \(g\) と言われる。

③ つまり、以下の図のように、下向きに加速度 \(g\) がはたらいている。

④ 一般に、落下運動では下向きを正にとる。
よって、\(g\) はプラス。つまり、自由落下とは、「初速度  \(v_{0}=0\) 、運動開始から時間 \(t\) 後の速度を \(v\)、働く加速度が \(g\)、変位 \(y\)」の等加速度運動とみなせる。( ※物体の変位 \(x\) は、落下方向が縦であるので、分かりやすく \(y\) とする。理由は、数学の\(x-y\) 平面を思い出すと、\(y\) は縦方向であるから)
⑤ よって、これらを、等加速度運動の3つの公式へ代入する。
\(t\)、\(v\) はそのままで、\(v_{0}=0、a=g、x=y \)とすれば、以下のように自由落下の公式になる。
自由落下公式 \[v=gt\]\[y=\frac{1}{2}gt^2\]\[v^2=2gy\]

鉛直投げ下げとの関連

自由落下では、\(v_{0}=0\) である。しかし、鉛直投げ下げとは、\(v_{0}≠0\) である。つまり、以下のイメージ図になる。

詳しくは、鉛直投げの単元で学んでほしい。簡単に言うと、鉛直投げ下げとは、「初速度  \(v_{0}\) 、運動開始から時間 \(t\) 後の速度を \(v\)、働く加速度が \(g\)、変位 \(y\)」の等加速度運動とみなせる。
よって、投げ下げ公式は、以下のようになる。

 

投げ下げ公式 \[v=v_{0}+gt\]\[y=v_{0}t+\frac{1}{2}gt^2\]\[v^2-v_{0}^2=2gy\]

※自由落下とは、投げ下げ公式に\(v_{0}=0\)を代入したものと考える事が出来る。

例題演習

公式の基礎的な使い方

例題:高さの分からないビルの上から、ボールをそおっと離し、落下させた。このとき、地上に落下するまで、4.0 s要した。重力加速度 \(g=9.8\) m/s2とし、ビルの高さを求めよ。

解説:
まずは、問題文を図にする。

※物理では、問題文を、自分なりに簡単でいいので、絵や図にすることが重要である。問題文の整理にもなるし、図の方がイメージしやすい。

そして、以下のstep①~④に従って解く。※初学者向けに、非常に丁寧に書いてある。

step①:自由落下公式3つを書く。

\[v=gt\]\[y=\frac{1}{2}gt^2\]\[v^2=2gy\]

 

step②:問題文を読み、求めるものを把握し、公式中の記号に下線を引く。下線のない公式は無視する。

→この場合は、求めるものは高さであり、記号は \(y\) 。3公式(a)~(c)中の \(y\) に下線を引く。すると、(a)は下線が登場しないので無視。

 

step③:問題文を読み、分かっているものを把握し、公式の記号に〇を付ける。

→この場合、加速度 \(g\)(=9.8 m/s2)、変位 \(t\) (=4.0 s)が分かっている。よって、公式(b)(c)中の対応する記号に〇をする。

step②③を踏まえると、以下のようになる。

 

step④ 答えが求められる公式を選び、代入して計算する。
→下線以外が〇の公式(b)を使えばよいことが分かる。

\(g=9.8、t=4.0\) を代入すると、
\[y=\frac{1}{2}\cdot9.8\cdot4.0^2\\y=78.4\]

問題文中の最低の有効桁数は2桁より、\(y=78\) m・・答え

慣れてくると、step②③は飛ばして、スムーズに解けるようになるはずである。

“2乗”の数値計算のコツ

ここでは、計算の工夫に焦点をあてた例題を見る。

例題:高さ44.1 mの建物の上から、ボールをそおっと落とした。このとき、ボールが地面に落下するときの速さを求めよ。重力加速度 \(g=9.8\) m/s2

解説:
2-1のstep①~④の通りにやれば、求まる。詳細は割愛するが、\(v^2=2gy\)を使えばよいことが分かる。この式に\(g=9.8、y=44.1\) を代入。

\[v^2=2\cdot9.8\cdot44.1\]

ここで、右辺の数値を計算して、\[v^2=864.36\]
としてしまうと、2乗をはずすときに大変になる。
そこで、以下のように、工夫をする。

\begin{eqnarray*}v^2&=&2\cdot(2\cdot4.9)\cdot(9\cdot4.9)\\v^2&=&2^2\cdot4.9^2\cdot3^2\\v&=&2\cdot4.9\cdot3\\v&=&29.4\end{eqnarray*}

ポイントは、2乗を作ることである。重力加速度が絡む分野なら、9.8や4.9を軸に、上のように数字を変形するとうまくいくことが多い。

問題文中の最低の有効桁数は2桁より、答えは、\(v=29\) m/s
もちろん、きれいにルートが消えない場合もあるので、注意する。

応用問題演習

それでは、少し難易度の高めの問題を見ていく。

自由落下における変位と時間の関係

例題:高さ \(2h\) のビルから落下させたボールが地面に達するまでの時間は、高さ \(h\) のビルから落下させた場合の時間の何倍か。

解説:
高さ \(h\) の場合の時間を \(t_{1}\) とし、高さ \(2h\) の場合の時間を\(t_{2}\) とする。

まず、\(t_{1}\) の場合について考える。
\(y=\frac{1}{2}gt^2\)に、\(y=h\)、\(t=t_{1}\)を代入。
\[h=\frac{1}{2}gt_{1}^2\\t_{1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}\]

次に、\(t_{2}\) を求める。
同じく、\(y=\frac{1}{2}gt^2\)に、\(y=2h\)、\(t=t_{2}\) を代入。
\[2h=\frac{1}{2}gt_{2}^2\\t_{2}=\sqrt{\frac{4h}{g}}\]

問題文は、「\(t_{2}\) は \(t_{1}\) の何倍か」を聞いているので、
\[\frac{t_{2}}{t_{1}}=\cfrac{\sqrt{\cfrac{4h}{g}}}{\sqrt{\cfrac{2h}{g}}}\\[20mm]\frac{t_{2}}{t_{1}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\]
よって、\(\sqrt{2}\) 倍・・答え

※これは、上のように計算しなくても求まる。
\(y=\frac{1}{2}gt^2\) を、\(t\) について解くと、
\[t=\sqrt{\frac{2y}{g}}\]
となり、\(g\)は定数より、\(tは\sqrt{y}\)に比例する。つまり、\(y\) が2倍、3倍・・になれば、\(t\)は\(\sqrt{2}\) 倍、\(\sqrt{3}\)倍・・になる。
よって、高さが2倍になれば、落ちるまでの時間は \(\sqrt{2}\) 倍になる。

自由落下における変位と速度の関係

例題:高さ \(2h\) のビルから落下させたボールが地面に達する直前の速度は、高さ \(h\) のビルから落下させた場合の速度の何倍か。

解説:
これも、3-1の場合と同様に考えることができる。
\(v^2=2gy\) が、速度\(v\) と変位 \(y\) の関係の公式である。落下方向(下向き)を正とし、2乗を外すと、

\[v=\sqrt{2gy}\]

である。

式を見ると、\(vは\sqrt{y}\)に比例。つまり、\(y\) が2倍、3倍・・になれば、\(v\)は\(\sqrt{2}\) 倍、\(\sqrt{3}\)倍・・になる。
よって、高さが2倍になれば、落ちる直前の速度は \(\sqrt{2}\) 倍になる

今回3-1、3-2で見たように、実際に細かく計算しなくても、公式内の量と量の関係性を見れば、すぐに分かる問題もある。こういった、「公式の解釈」も、物理においては重要である。

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