鉛直投げ上げ&投げ下げ公式は覚える必要なし!完全解説【例題あり】

鉛直投げ上げ&投げ下げ公式は覚える必要なし!完全解説【例題あり】

鉛直投げ上げ&投げ下げ公式

投げ下げ

鉛直投げ下げとは~公式の紹介~

ボールを地面に叩きつける場面を想像してほしい。鉛直下向きに、ある初速度で投げているような運動である。これを、鉛直投げ下げという。

以下はイメージ図である。(記号:初速度 \(v_{0}\) 、投げ下げてから時間 \(t\) 後の速度を \(v\) 、変位を\(y\)とする。下向きを正)

鉛直投げ下げにおいて、成立する公式は、以下の3つである。(\(g\):重力加速度)

投げ下げ公式
\[v=v_{0}+gt\]\[y=v_{0}t+\frac{1}{2}gt^2\]\[v^2-v_{0}^2=2gy\]

この公式は、等加速度運動の公式を理解し覚えていれば、自分で導ける。それについて、次で解説する。

鉛直投げ下げ公式の解説~公式の丸暗記は必要ない~

等加速度運動の公式は、以下の3つである。(初速度 \(v_{0}\) 、運動開始から時間 \(t\) 後の速度を \(v\) 、加速度 \(a\) 、変位 \(x\) )

\[v=v_{0}+at\]

\[x=v_{0}t+\frac{1}{2}at^2\]

\[v^2-v_{0}^2=2ax\]

この3つを理解していれば、以下①~⑤のように鉛直投げ下げ公式を導ける。

①落下中は重力がはたらくため、物体の速度は変化していく。ものを落としたときに、速度が大きくなるのは、イメージしやすいだろう。

②速度が変化するという事は、加速度が働いている。このとき働く加速度は、重力加速度 \(g\) と言われる。

③つまり、以下の図のように、下向き(正方向)に加速度 \(g\) がはたらいている。よって、 \(g\) はプラス

④最終的に、鉛直投げ下げとは、「初速度 \(v_{0}\) 、運動開始から時間 \(t\) 後の速度を \(v\)、働く加速度が \(g\)、変位\(y\)」の等加速度運動とみなせる。( ※物体の変位 \(x\)は、落下方向が縦であるので、分かりやすく \(y\) とする。理由は、数学の\(xy\) 平面を思い出すと、\(y\)は縦方向であるから)

⑤よって、これらを、等加速度運動の3つの公式へ代入する。\(v_{0}\)\(t\)\(v\)はそのままで、\(a=g\)\(x=y\)とすれば、以下のように投げ下げ公式になる。

\[v=v_{0}+gt\]\[y=v_{0}t+\frac{1}{2}gt^2\]\[v^2-v_{0}^2=2gy\]

鉛直投げ上げとは

鉛直投げ上げ

ボールを上に投げる場面を想像してほしい。鉛直上向きに、ある初速度で投げ上げているような運動である。これを、鉛直投げ上げという。

以下はイメージ図である(記号:初速度 \(v_{0}\) 、投げ上げてから時間 \(t\) 後の速度を \(v\) 、変位を\(y\)とする。上向きを正)。

鉛直投げ上げにおいて、成立する公式は、以下の3つである。(\(g\):重力加速度)

投げ上げ公式
\[v=v_{0}-gt\]\[y=v_{0}t-\frac{1}{2}gt^2\]\[v^2-v_{0}^2=-2gy\]

この公式は、投げ下げ同様、等加速度運動の公式を理解していれば、自分で導ける。それについて、次で解説する。

鉛直投げ上げ公式の解説その1~公式の丸暗記は必要ない~

投げ上げ公式は、投げ下げ同様、以下のように等加速度運動公式から導ける。

①投げ上がっている際も、物体には重力がはたらき、重力加速度 \(g\) が働く

②つまり、以下の図のように、下向き(負方向)に加速度 \(g\) がはたらいている。

③よって、\(g\)はマイナス。つまり、鉛直投げ上げとは、「初速度 \(v_{0}\) 、運動開始から時間 \(t\) 後の速度を \(v\)、働く加速度が \(-g\)、変位\(y\)」の等加速度運動とみなせる、

④よって、これらを、等加速度運動の3つの公式へ代入する。\(v_{0}\)\(t\)\(v\)はそのままで、\(a=-g\)\(x=y\)とすれば、以下のように投げ上げ公式になる。

\[v=v_{0}-gt\]\[y=v_{0}t-\frac{1}{2}gt^2\]\[v^2-v_{0}^2=-2gy\]

公式の解説その2 ~公式内の”y”は変位を意味する~

たとえば、初速度20 m/sで鉛直投げ上げを行い、下図の★の位置に達するまでに3.0 sかかったとする。

このとき、投げ上げ公式の1つ \(y=v_{0}t-\frac{1}{2}gt^2\) に代入して求まる値\(y=20×3.0-\frac{1}{2}×9.8×3.0^2≒16 \)はどの部分を表すか考えてみよう。

鉛直投げ上げ公式の\(y\)以外にも、等加速度運動公式内の\(x\)や自由落下公式の\(y\)は、すべて「変位」を表す。

変位の定義は、

変位 = (運動後の位置)-(運動前の位置)

である。
運動前の位置は、この場合投げ上げを始めたところ(図中の※)であるので、\(y\)は下図赤の部分に対応する。

よくある勘違いは、「yが図中の青色の部分を表している」というもの。あくまで、yは変位であることを押さえておこう。(これは、そのほかの等加速度運動関連の公式でも同じである。)

鉛直投げ下げ例題演習(公式の基礎的な使い方)

例題:高さ14.7 mのビルの屋上から、ボールを鉛直下向きに9.8 m/sで投げ下げた。このとき、ボールが地上に達する直前のボールの速度を求めよ。重力加速度を9.8 m/s2とし、下向きを正とする。

解説:
※初学者向けに、非常に丁寧に書いてある。

step①:鉛直投げ下げ公式3つを書く。

\[(a)\ v=v_{0}+gt\]\[(b)\ y=v_{0}t+\frac{1}{2}gt^2\]\[(c)\ v^2-v_{0}^2=2gy\]

step②:問題文を読み、求めるものを把握し、公式中の記号に下線を引く。下線のない公式は無視する。

→この場合は、求めるものは速度であり、記号は \(v\)。3公式(a)~(c)中に下線を引く。すると、(b)は下線 \(v\) が登場しないので無視。

step③:問題文を読み、分かっているものを把握し、公式の記号に〇を付ける。

→この場合、初速度 \(v_{0}\) (=9.8 m/s)、加速度 \(g\)=9.8 m/s2)、変位 \(y\) (=14.7 m)が分かっている。よって、公式(a)(c)中の対応する記号に〇をする。

step②③を踏まえると、以下のようになる。

step④ 答えが求められる公式を選び、代入して計算する。
→下線以外がすべて〇の公式(c)を使えばよいことが分かる。
→(c)に、\(v_{0}\) = 9.8 、加速度 \(g\) = 9.8 、変位 \(y\) = 14.7 を代入。

\begin{eqnarray*}
v^2-(9.8)^2&=&2(9.8)(14.7)\\v^2&=&(9.8)^2+2(9.8)(14.7)\\v^2&=&(2\cdot4.9)^2+2(2\cdot4.9)(3\cdot4.9)\\v^2&=&4\cdot4.9^2+12\cdot4.9^2\\v^2&=&16\cdot4.9^2\\v&=&±\sqrt{16\cdot4.9^2}\end{eqnarray*}
\(v\)>0(下向きが正で、この物体は下向きに進んでいるから)より、
\begin{eqnarray*}
v&=&\sqrt{16\cdot4.9^2}\\v&=&4\cdot4.9\end{eqnarray*}

\(v\) = 19.6 m/s・・答え

※1)上の計算のように、ルートをはずす場合は、うまいこと2乗の形を作ることがポイント!重力加速度が絡む分野なら、9.8や4.9を軸に、上のように数字を変形するとうまくいくことが多い。)

※2)step①~④通りに何回か行い、慣れてくれば、step②③は飛び越えて、すぐに解けるようになる。

投げ上げ例題演習

基礎編(公式の基礎的な使い方)

例題:時刻 \(t=0\) に鉛直上向きに速さ \(V\) でボールを投げ上げた。ボールの速度が鉛直下向きに \(V\) になる時刻\(T\)を求めよ。重力加速度を \(g\) とする。
 
解説:
さきほど、2鉛直投げ下げの例題で見たように、step①~④の通りに行えばよい。まず、問題文を図にする。鉛直投げ上げでは、上向きを正にするので、以下のようにまとめることができる。

 

step①:鉛直投げ上げ公式3つを書く。

\[(a)\ v=v_{0}-gt\]\[(b)\ y=v_{0}t-\frac{1}{2}gt^2\]\[(c)\ v^2-v_{0}^2=-2gy\]

step②~④の詳細は省略するが、この場合、公式(a)を使えばいいと判明する。
公式(a)に、\(v_{0}= V\)\(v=-V\) 、\(t=T\) を代入。

\begin{eqnarray*}
-V&=&V-gT\\
-2V&=&-gT\\[3mm]
T&=&\frac{2V}{g}\cdot\cdot答え
\end{eqnarray*}

応用編その1(最高点関連の問題)

例題:時刻 \(t=0\) に鉛直上向きに速さ \(V\) でボールを投げ上げた。ボールの最高点の高さ \(h\) を求めよ。重力加速度を \(g\) とする。

解説:
ものを投げ上げると、上がっているときに、徐々に速度が減る。そして、一瞬速度 = 0になり、落下してくる。つまり、

最高点では、速度 = 0
これはよく使うので、覚えておくとよい。
3-1と同じく、図を書き、step①~④通りに行えば解ける。詳細は割愛するが、
\[(c)\ v^2-v_{0}^2=-2gy\]
を使えばよいと分かる。
鉛直上向きを正とするので、鉛直上向きに速さ \(V\) → 速度 = \(V\)である。
よって、\(v_{0}= V\)\(v=0\) 、\(y=h\) を代入
\begin{eqnarray*}
0^2-V^2&=&-2gh\\[3mm]
h&=&\frac{V^2}{2g}\cdot\cdot答え
\end{eqnarray*}

応用編その2(公式内の”y”にマイナス数字を代入する場合)

例題:下図のように、高さ \(h\) (>0) のビルの屋上から、鉛直上向きに速さ \(V\) でボールを投げ上げた。ボールが地面に到達する直前の速度 \(u\) を求めよ。鉛直上向きを正とし、重力加速度を \(g\) とする。
問題文より、求めるものは、速度 \(u\)である。わかっているものは、初速度 \(v_{0}=V\)、と変位 \(y=-h\)である。

 

なぜ、\(y=-h\)なのか。これは、上記1.2.3公式解説その2を思い出せば分かる。そこでは、以下のように言っていた。
\(y\)とは、変位である。

 

鉛直上向きが正であり、かつ、投げ上げた地点が変位の基準点より、
地面に到達する直前の変位\(y\)は、\(-h\)になる。(以下の赤字のように、座標のイメージでOK)
よって、投げ上げ公式\[(c)\ v^2-v_{0}^2=-2gy\]に、\(v_{0}= V\) 、\(v=u\) 、\(y=-h\) を代入。 

\begin{eqnarray*}
u^2-V^2&=&-2g(-h)\\
u^2&=&V^2+2gh\\
u&=&±\sqrt{V^2+2gh}\end{eqnarray*}

地面到達直前、ボールは鉛直下向きに進んでいるので、”マイナス”の速度である(鉛直上向きが正より)。よって、

\[u=-\sqrt{V^2+2gh}\cdot\cdot答え\]

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