力学的エネルギー保存則の概要
まずは、力学的エネルギー保存則の定義について見ていきましょう。
力学的エネルギーとは、
のことで、
力学的エネルギー保存則とは、
というものです。
まずは、高いところからボールを落とすことを考えましょう。ボールを落とすと、時間が経つにつれて速度が上がりますね。速度が上がることで、運動エネルギーは大きくなります。
しかし、同時にボールの位置は低くなっていきます。位置が低くなると、ボールの位置エネルギーは小さくなっていきます。
このように、ボールを落下させてからの時間が経つにつれて運動エネルギーが大きくなりますが、それに合わせて位置エネルギーは小さくなります。
その結果、ボールがどの高さにある時でも、力学的エネルギーは変化しないということになります。これが力学的エネルギー保存則の考え方です。
問題を解く際には、この考え方をもとに方程式を組み立てることになります。
ここからは以上の内容を、実際に数式を用いて表していきます。
なお、ここでは、
- 質量 → \(m (kg)\)
- 重力加速度 → \(g (m/s^2)\)
- 速度 → \(v（m/s）\)
として表しています。
運動エネルギー
運動エネルギーは運動する物体が持つエネルギーです。
運動エネルギーはKと表記され、
$$K=\frac{1}{2}mv^2$$
と表すことができます。
なお、単位はJ（ジュール）で表され、他のエネルギーもJを用います。
仕事の単位と同じであることに注意しておきましょう。
位置エネルギー
位置エネルギーはUと表記され、
$$U=mgh$$
と表すことができます。
これは、質量m、つまり重量mgの物体をhの高さまで持ち上げるのにした仕事に等しくなっています。
つまり、「位置エネルギー=その物体をその高さまで持ち上げるのに必要なエネルギー」となっていることに注意しましょう。
そして、運動エネルギー・位置エネルギーの公式を使うと、力学的エネルギー保存則はこのように表すことができます。
$$\frac{1}{2}mv^2 + mgh = 一定$$
ここで、運動エネルギーと位置エネルギーについての簡単な問題を解いておきましょう。
問題1
速さ20m/sで走行する質量1000kgの自動車が持つ運動エネルギーはいくらか。
解答
運動エネルギーの公式に当てはめて、
$$\begin{align}K &= \frac{1}{2}\times1000kg\times(20m/s)^2\\ &= \frac{1}{2}\times1000\times400\\ &= 2.0\times10^5J\end{align}$$
問題2
地面から高さ10mの位置にある、質量2kgの球体の位置エネルギーはいくらか。ただし、重力加速度の大きさを9.8m/s2とする。
解答
位置エネルギーの公式に当てはめて、
$$\begin{align}U &= 2kg\times9.8m/s^2\times10m\\ &= 196J\end{align}$$
力学的エネルギー保存則の立式・解法
実際に力学的エネルギー保存則を用いて簡単な問題を解いてみましょう。
問題3
地面からの高さHのA地点から質量mの球体を静かに落下させる。途中、球体は地面からの高さがhとなる点Bを通過し、地面に到達して跳ね返った。
ただし、H>hとする。
(1) 点Bを通るときの速さvはいくらか。
(2) 地面に当たる時の速さuはいくらか。
まず、落下させる瞬間（点A）は速度が0になっています。
そのため、この時に力学的エネルギー=位置エネルギーとなっています。式を立てるときは初めに、位置エネルギーと運動エネルギーのどちらかが0の状態を探しましょう。
次に、点Bでの力学的エネルギーを考えます。
点Bでは、高さがあると同時に運動もしているので、位置エネルギーと運動エネルギーの両方がありますね。そこで、問題文に出てきた記号を用いて、
運動エネルギーは\(\frac{1}{2}mv^2\)
位置エネルギーは\(mgh\)
と表せます。
そのため、点Bで働いている力学的エネルギーは、この両方を足して、
$$\frac{1}{2}mv^2+mgh$$
と表されます。
力学的エネルギー保存則により、点Aと点Bにおける力学的エネルギーは等しいので、あとは下のように立式して解答となります。
(1) \(mgH = \frac{1}{2}mv^2 + mgh\qquad ∴ v=\sqrt{2g(H-h)}\)
そして、(2)については、地面に当たる直前の速さをuとしています。
地面に当たる直前は高さが0なので、位置エネルギーはありません。したがって、力学的エネルギー=運動エネルギーとなります。
この時の運動エネルギーは1/2mu2。これが点Bにおける力学的エネルギーと等しいので、(1)と同様の手順で立式し、以下のような解答になります。
(2) \(\frac{1}{2}mv^2 + mgh = \frac{1}{2}mu^2\)
(1) の\(v=\sqrt{2g(H-h)}\)を代入して、
$$\begin{align}&mg(H-h) + mgh = \frac{1}{2}mu^2\\
&∴mgH = \frac{1}{2}mu^2\\
&∴ u = \sqrt{2gH}\end{align}$$
なお、地面に当たる直前の力学的エネルギーは点Aの力学的エネルギーとも等しいので、
$$mgH = \frac{1}{2}mu^2$$
としても良いです。
この問題が力学的エネルギー保存則における基本的な形となっています。
実際に入試などでも問われる問題は、この基本形に少し手を加えたものになっています。そのため、この問題を解いて理解を深めることで、様々な類題に挑戦できるようになります。
本番でミスを減らすコツ
本番でミスを減らすコツを3つ紹介します！
- まずは焦らず図式化
- 式は省略せず丁寧に
- プラス・マイナスを確認
まずは焦らず図式化
問題を見たら最初は、言われていることを一つ一つ図に表しましょう。
問題文を出来るだけ丁寧に図にすることで、どこでどんなエネルギーが、どの方向に関係しているのかが一目でわかるようになります。
それにより、立式もより簡単に、ミスなく作ることができるようになります。
式は省略せず丁寧に
試験では時間が十分に与えられているので、式は丁寧に書きましょう。焦って立式・計算をすると、マイナスをつけ忘れる等のミスをしやすくなり、危険です。
大切なのが、単位を忘れずに記入することです。同じ速度のことでも、m/秒なのか、m/分なのかでは桁が違ってきますし、重量についてもkgなのかgなのかを間違えると答えが合わなくなります。
こうした内容を細かくメモするのは時間がかかりますが、計算が合わなくなってやり直したりすると余計に時間を無駄にしてしまいます。
プラス・マイナスを確認
どちらを正ととるかをしっかり確認します。
特に、g（重力加速度）は鉛直上方向を正ととるか負ととるかで、符号が変化する厄介な記号です。間違えることがないようによく見直しておきましょう。
また、プラス・マイナスを間違えないようにするためにも、式を立てるときは
「力学的エネルギー = 運動エネルギー + 位置エネルギー」
という形になるようになります。
このように立式すると、基本的にはプラスの符号での式になります。しかし、このような形ではなくいきなり
「力学的エネルギー – 運動エネルギー = 位置エネルギー」
のような形から作ろうとすると、式の中にマイナスの符号が入り込み、式がより複雑化した際に計算ミスの可能性が高くなります。
まとめ
力学的エネルギー保存則の問題は、「K + U = 一定」ということを覚え、こちらで紹介した基本問題をこなせるようになれば、根本的なことは理解したことになります。
応用問題・発展問題はこの基本的事項をベースに、色々な内容を付け加えたものになるので、すぐに解けるとはいかないものの、ある程度考えることはできるようになります。
逆に、難しい問題でわからないところがあったら、すぐに基本に立ち返るようにしましょう。もう一度基本的なことをおさえ直すことで、難しい問題にも太刀打ちできるようになります。
