チェバの定理の攻略法を解説!図形の問題を得点源にしよう!

チェバの定理の攻略法を解説!図形の問題を得点源にしよう!

チェバの定理は、入試問題にもよく使われる基本の定理です。

試験で確実に得点できるように、今回の記事でマスターしておきましょう。

ワニ塾長

チェバの定理は、知っているとすごく便利な定理です!
覚え方のコツも解説しているので、頑張ってマスターしよう!!

チェバの定理とは

チェバの定理とは、数学Aの図形の範囲で習う(平面幾何学の)定理です。

基本中の基本で、センター試験を含め数々の入試の問題で頻繁に登場しています。

同じ数学Aで習う他の定理とも関わりを持っているので、必ず覚えるべき公式の一つです。

チェバの定理の公式

三角形ABCにおいて、三角形内部の任意の点をPとし、APとBC、BPとCA、CPとABの交点をそれぞれD, E, Fとすると、以下のような公式が成り立つ。

チェバの定理

【チェバの定理】

$$\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1$$

チェバの定理の証明

チェバの定理の証明には、面積比の法則を用いたものが最も一般的です。

【チェバの定理の証明】

一辺を共有する三角形において、面積比と線分は以下のような関係を持ちます。

面積比の法則
$$\require{color}\frac{\textcolor{magenta}{\triangle APB}}{\textcolor{green}{\triangle APC}}=\frac{BD}{DC}$$

これを用いると、

$$\frac{AF}{FB}=\frac{\triangle APC}{\triangle BPC}$$
$$\frac{BD}{DC}=\frac{\triangle APB}{\triangle APC}$$
$$\frac{CE}{EA}=\frac{\triangle BPC}{\triangle APB}$$

となります。これらの式を掛けると、

$$\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=\frac{\triangle APC}{\triangle BPC}\cdot\frac{\triangle APB}{\triangle APC}\cdot\frac{\triangle BPC}{\triangle APB}=1$$

となり、チェバの定理の公式が成り立つことが分かります。

チェバの定理の覚え方とそのコツ

チェバの定理の覚え方は驚くほどシンプルです。

点Aから左回りに、AF、FB、BD、DC、CE、EAとぐるっと一周して、その順番に分子、分母、分子、分母…と書いていくと公式の左辺が完成します!

チェバの定理の覚え方

公式をそのまま覚えなくても、流れでチェバの定理の式が作れてしまうのです。

また、Aからでなく、BやCから左回りに一周しても同じようにチェバの定理が成り立ちます。

チェバの定理で注意してほしいこと

チェバの定理を覚えるにあたって、注意してほしいことを紹介します!

公式だけで覚えようとしない

図形問題が苦手な受験生に多いのが、公式をそのまま頑張って覚えようとすることです。

実際の問題では、上記の公式と同じようにアルファベットが割り振られている訳ではありません。

問題によって文字や記号は変わりますので、丸覚えしようとすると、公式を知っていても全く使えないなんてことに・・・

公式を丸暗記するよりも、左回りにぐるっと一周して公式を作るのだなとイメージで覚えてしまった方がずっと簡単です。

いろいろな図を見て理解する

チェバの定理に限らず、図形問題の公式を覚える上で大切なのは、図を見ながら覚えるということです。

公式そのものを覚えるのではなく、図を見ながら「この部分をこの部分で割って、こことここを掛け算すればいいな」という感じで、式と図を結びつけながら定理を理解していく方が頭に入りやすく、効率的です。

また、問題によっては余計な直線が増えたりもします。複雑な形をした図形で出題されると、チェバの定理が使えることに気づきにくいことが多いです。

どのような形で出されてもチェバの定理が閃くように、いろいろな図を見て覚えましょう。

例題

チェバの定理が登場する問題は、基本的に直線の長さやその比を問うものがほとんどです。出題頻度がとても高いので、典型的な問題にふれ、使いこなせるようになっておきましょう。

【例題】
\(AF:FB=1:2\)、\(EA:CE=5:3\)  であるとき,\(BD:DC\)  を答えよ。
チェバの定理

【解答】
チェバの定理より、

$$\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1$$
\(AF:FB=1:2\)、\(EA:CE=5:3\)  であるから、
$$\frac{1}{2}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{3}{5}=1$$
よって
$$\frac{BD}{DC}=\frac{10}{3}$$

したがって$$BD:DC=10:3$$

まとめ

チェバの定理は図形問題において度々出題される重要な定理ですが、苦手な人も少なくありません。

しかし、定理が覚えられない人は、数学が苦手なわけではなく、覚え方が良くないためにつまづいていることが多いです。

公式をそのまま見て覚えるのではなく、実際に問題に取り組みながら、どうやってチェバの定理を使えばいいのかを理解していくことで、理解のスピードは段違いに早くなります。

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